【高次元の図形問題】「4次元立方体の3次元空間R3での展開図」が、なぜ8個の立方体であらわされるのか説明できますか
宇宙はどんな形をしているのか？ その謎に迫るために取り入れられているのが「トポロジー:位相幾何学」と呼ばれる数学です。このトポロジーの中でも、超弦理論との関係から近年注目されている「結び目理論」や、宇宙空間を考えるうえで重要になる「高次元幾何学」を中心に、この不思議な世界を紹介する新刊『宇宙が見える数学』。その中から、この記事では本書のテーマである「高次元の幾何学」から4次元の世界について考えていきます。いよいよ「4次元の世界」を考えます。4次元の立方体は、3次元空間では8個の立方体として展開されます。これはなぜでしょうか。実際に「4次元立方体」の展開の仕方を見ながら、考えていくことにしましょう！ 【高次元の図形問題】「4次元立方体の展開図」はなぜ8個の3次元立方体なのか？ *本記事は『宇宙が見える数学』(ブルーバックス)を再構成・再編集したものです。
「中身が空の立方体」は2次元の図形！
小学校で立方体の展開図を習ったことがあると思います(図1)。厳密には「中身が空(から)の立方体」の展開図というべきですが、これは「立方体の展開図」と言い習わされています。 「中身が詰まった立方体」は3次元の図形です。「中身が空の立方体」は、展開すると6個の正方形になるので2次元の図形です。このことは大雑把にいうと、3次元の図形の境界は2次元だということです。中学・高校の数学で習う「境界」は、私たちが日常生活で用いている境界という言葉と同じ意味でした。じつは、境界という言葉も数学的に厳密な定義があります。ここでは境界という言葉は、中学・高校時代に習ったものと同じ意味だと考えてかいません。
これが「中身が空の4次元立方体」の展開図です！
では、4次元立方体からは、どのような展開図が作れるのでしょうか？ 先に4次元立方体の展開図を紹介します(図2)。 なぜこのような図形になるのかこれから説明します。この展開図は見たことがある人もいるかもしれません。名作家ハインラインの小説「歪んだ家」にも、この展開図が登場します。 「中身が詰まった4次元立方体」は4次元の図形です。中身の詰まった4次元立方体の中の点は、たて・よこ・たかさ・時間で位置が決まるからです。中身が詰まった4次元立方体の境界が「中身が空の4次元立方体」です。 「中身が空の4次元立方体」は3次元の図形です。さらに、「中身が詰まった3次元立方体」8個の寄せ集めになります。 「各図形の次元」の数字の違いにご注意ください。「中身が詰まった」と「中身が空」の違いにも注意してください。それでは、展開図がなぜこうなるのか説明したいと思います。
