図版:長澤貴之

宇宙はどんな形をしているのか？　その謎に迫るために取り入れられているのが「トポロジー:位相幾何学」と呼ばれる数学です。このトポロジーの中でも、超弦理論との関係から近年注目されている「結び目理論」や、宇宙空間を考えるうえで重要になる「高次元幾何学」を中心に、この不思議な世界を紹介する新刊『宇宙が見える数学』。その中から、この記事では本書のテーマである「高次元の幾何学」をもとに4次元の世界に進んでいきます！2次元図形の工作を考えていると「4次元」の世界が見えてくるんです！ 【図解】高次元の世界を見るための入口「4次元空間」をどう考えればいいのか *本記事は『宇宙が見える数学』(ブルーバックス)を再構成・再編集したものです。

宇宙空間は4次元の世界だ！

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我々は宇宙空間の次元を3より大きいと見なして研究しています。そもそも「数学的に4次元空間を考えられる」のも、「自然界を記述するのに『たて・よこ・たかさ・時間』の4個要る」のも、大昔からまじめな科学者ならみんな知っていました。 アインシュタインが相対論発表したあたりから宇宙の研究のために、4次元以上を、それ以前よりも深く考える必要が生じました。ただ、アインシュタインが「宇宙は4次元だ」と初めて言ったわけではありません。 そこで、4次元、さらにはそれ以上の高次元を見るための準備を始めたいと思います。

不思議な図形「クラインの壺」

図1:このトーラスは変形できる？(図版:長澤貴之)

次の図形を考えましょう(図1左)。正方形ABCDを用意します。この正方形はまわりの辺だけでなく中身もあります。この正方形の4つの辺に図1左のように矢印を付けていきます。 この図形の、辺ABと辺DCを同一視します。このとき矢印の向きが合うように注意してください。辺DAと辺BCを同一視します。これも矢印の向きが合うようにします。これらの同一視をして新図形を自己接触しないように作ります。さて、どんな図形ができるでしょうか。 以前の記事で紹介したように「同一視」というのは、その点、その線分など決まったところでぴたっと貼り合わせることでした。「自己接触」というのは、その図形が自分自身ににふれていないことです。 以前の記事で「トーラス」という図形を作りました。トーラスとはアニュラスを引き延ばしてつなぎ合わせたドーナツの表面のような形でした。 さて、図1を見ると辺ABと辺DCの矢印は同じ方向を向いていますが、辺ADと辺BCの矢印は反対方向を向いています。 この工作は完成できるでしょうか？　もし可能なら、どういうものができるのでしょうか？ できそうなところから、順番にやってみましょう。 まず、辺ABと辺DCを矢印の向きが合うように貼り合わせましょう。これは以前、トーラスを作ったときと同様にできます(図1右)。 続いて、辺ADと辺BCを矢印の向きが合うように貼り合わせなければなりません。 どうすればよいでしょうか。貼るときに正方形ABCDを引き延ばしたり曲げたりしてもかまいません。新図形は自己接触しないものとします。 なんだか無理そうです。