【高次元幾何学の世界】正方形から立方体、そして「 4次元立方体」へ。4次元空間の中の立方体が見える
「4次元立方体」はあの名作にも登場する！
SF小説や映画などでご存じの方もいらっしゃると思いますが、4次元立方体は「テッセラクト(tesseract)」、4次元キューブ(4-dimensional cube)などともいいます。 『夏への扉』『月は無慈悲な夜の女王』『宇宙の戦士』などで知られる米国の偉大なSF作家ロバート・A・ハインラインの作品に「歪んだ家」という短編小説があります。 この作品は4次元立方体が登場する名作です。興味のある方はぜひ手に取ってみてください。『コスモス』『コンタクト』などの著者の偉大な物理学者・科学入門書作家・SF小説家のカール・セーガンは「歪んだ家」を激賞しています。
4次元立方体の見取り図「射影図」とは
4次元空間R4を空想することを続けます。3次元空間R3(*アールスリー:Rは二重線、3は肩付き)の事象から類推すると4次元空間R4が見えるようになります。 2次元から1次元への正射影、3次元から2次元への正射影は小学校・中学校・高校で習いました。図形を正射影したものを「射影図」と言うのでした(図3)。 では、たて・よこ・たかさ・時間で特徴づけられる4次元空間R4の中の4次元立方体を、たて・よこ・たかさで特徴づけられる3次元空間に正射影することにします。 図4は、4次元立方体を3次元R3に正射影した図です(「時間軸の方向よりやや斜め」で正射影)。 さきほどの図2の下の図形を思い出してください。図2の下の図形と図4のふたつは、よく見ると、ほぼ同じような射影図であることに気づきます。どちらも、4次元立方体を2次元平面に描いた図です。これは、4次元への視力を鍛えるよい練習になりますので、よくご覧ください。 次の記事では、この4次元立方体の展開図を3次元空間R3の中で描いてみたいと思います。
小笠 英志(数学者)
