図版:長澤貴之

宇宙はどんな形をしているのか？　その謎に迫るために取り入れられているのが「トポロジー:位相幾何学」と呼ばれる数学です。このトポロジーの中でも、超弦理論との関係から近年注目されている「結び目理論」や、宇宙空間を考えるうえで重要になる「高次元幾何学」を中心に、この不思議な世界を紹介する新刊『宇宙が見える数学』。その中から、この記事では本書のテーマである「高次元の幾何学」から4次元の世界について考えていきます。 【高次元幾何学の世界へ】正方形から立方体、そして「 4次元立方体」へ これまで「クラインの壺」の工作をもとに「4次元空間」が出現することを見てきました。ここでは、さらに「4次元視力」を鍛えるための入門として「4次元立方体」について考えてみたいとも思います！ *本記事は『宇宙が見える数学』(ブルーバックス)を再構成・再編集したものです。

線分→正方形→立方体へ

図1(図版:長澤貴之)

この記事では、さらに「4次元空間R4」(アールフォー:Rは二重線、4は肩付き)について深く考えていきます。 図1をご覧ください。 まず、ある点を考えます。この点がまっすぐ進めば、その軌跡は線分になります(図1左)。 次に、その線分が「線分に垂直な方向に」線分の長さだけ進めば、その軌跡は正方形になります。これは中身の詰まった正方形です(図1真ん中)。 この「中身が詰まった正方形」が、面に垂直な方向に、正方形の辺の長さと同じだけ進めば、その軌跡は「中身が詰まった立方体」になります(図1右)。

立方体を「なんらかの方向」に動かしてみると!?

図2(図版:長澤貴之)

では、この中身の詰まった立方体を、さらに「なんらかの方向」に動かすとしたら、その軌跡はどのような図形でしょうか？ 「4次元空間R4の中の3次元空間」にあると思い、第4の軸の方向に動かします。以降は、この第4の軸を「時間」と考えて話を進めますが、それ以外のものと考えてもかまいません。 正解を先にお見せすることにします。図2の下の図形になります。 この図形を「4次元立方体」といいます。 呼応して、さきほどまで立方体と呼んでいた図形を「3次元立方体」、正方形を「2次元立方体」、線分を「1次元立方体」ということもあります。 では、最初に出てきた点はどうでしょうか？　じつは、これを「0次元立方体」ということも稀(まれ)にあります。