【4次元空間は誰にでも見えます！】高次元を見るための入口「4次元空間」の考え方と高次元視力を鍛える「トポロジー的準備運動」
宇宙はどんな形をしているのか？ その謎に迫るために取り入れられているのが「トポロジー:位相幾何学」と呼ばれる数学です。このトポロジーの中でも、超弦理論との関係から近年注目されている「結び目理論」や、宇宙空間を考えるうえで重要になる「高次元幾何学」を中心に、この不思議な世界を紹介する新刊『宇宙が見える数学』。その中から、この記事では高次元の世界を見るための入口として、4次元空間を考えてみたいと思います。 【図解】4次元空間は誰にでも見えます！ *本記事は『宇宙が見える数学』(ブルーバックス)を再構成・再編集したものです。
4次元空間とはなにか
以前の記事で、「クラインの壺」は3次元空間ではどうやっても自己接触しますが、4次元空間では自己接触せずに実現できることを紹介しました。 どうすればよいか、もう思いつきましたか？ 思いつかなくても当然です。なぜなら4次元空間について、皆様にまだきちんと説明していないからです。 私たちの住んでいる世界では、小さい点状の物体の位置は「たて・よこ・たかさ」の3個の数字がわかれば決まります。とりあえず、ふだん暮らしているぶんにはそうです。 この世には時間もあるじゃないか、と思われた方もいらっしゃいますか。いいところに気がつきました。
3次元空間から4次元空間へ
まずは、ある時刻の一瞬のことを考えるとします。もしくは、時間をある一瞬に止めたとしましょう。本当に止められるかということは考えず、想像上、時間をある瞬間に止めたと考えてください。こうやって空想することはとても大事です。 ある点の位置が3個の数字で決まります(図2の右)。また、その3個の数字はお互いに関連なく自由に決められるとします。そういう世界を、3次元空間、もしくは「3次元空間R3(アールスリー)」(*Rは二重線、3は肩付き)と呼びます。また、この「次元」は「自由に決められる数字の個数」という意味に考えてください。
4次元空間 R4 を考えてみよう
ここで、ある一瞬、ある一点が光ったとします。 これは、たて・よこ・たかさの位置と「時間」の4個の数字で特定できます。このように、4個の数字でひとつの事件あるいは、位置を決められる世界を「4次元空間R4(アールフォー)」(*Rは二重線、4は肩付き)といいます。 当然、時間も考えた我々の日常の空間は4次元空間R4と見なせます。4次元空間R4の概念的な図を描くと図3のようになります。 3次元空間R3とは別に、もう1本軸があります。この軸は、たて・よこ・たかさ、とは別の方向を向いています。この軸が時間の流れを表していると思えば納得できる方は、ここではそう考えてかまいません。
