図版:長澤貴之

宇宙はどんな形をしているのか？　その謎に迫るために取り入れられているのが「トポロジー:位相幾何学」と呼ばれる数学です。このトポロジーの中でも、超弦理論との関係から近年注目されている「結び目理論」や、宇宙空間を考えるうえで重要になる「高次元幾何学」を中心に、この不思議な世界を紹介する話題の新刊『宇宙が見える数学』。この本の中から、この宇宙の形を知るために必要な「曲面」について理解するための「図形の操作」について見ていくことにします。 万物の素・究極物質の反応を表す「世界面(ワールドシート)」とはなにか？ *本記事は『宇宙が見える数学』(ブルーバックス)を再構成・再編集したものです。 超ミクロな世界や、宇宙を解明しようとしたら「曲面」について研究する必要があります。ここで当面のあいだ「曲面」とは日常生活でいう曲面だと考えてかまいません。 たとえば、イランの偉大な女性数学者マリアム・ミルザハニは「リーマン面」という「複素数と『ある種の曲面』を融合した対象」についての研究で2014年にフィールズ賞を受賞しました。超弦理論で曲面が重要だというのは前節で見ました。超弦理論でリーマン面はさらに重要です。 では、段階を追いながら曲面について見ていくことにしましょう。

図形の「自己接触」とはなにか

図1:自己接触(図版:長澤貴之)

まず、基本的な言葉の定義を見ていくことにします。 図1のように線分を動かして一部を他の部分に接触させます。 このように図形を動かした結果、その図形のある点が別の点に接触するとします。その(結果の)図形は(はじめの図形が)「自己接触して(できて)いる」と言います。 簡単な問題を考えてみましょう。 境界を含む線分ABを考えます。この線分の両端の点Aと点Bを貼り合わせます。このとき、他の点はどの点ともさわらないようにします。どんな図形ができあがるでしょうか？

図形の「同一視」とは何か？

図2、3:(図版:長澤貴之)

答えは、円周です(図2)。 ある点とある点を貼り合わすことを、それらの点を「同一視する」といいます。ところで、図2を作るときは、はじめに、「この点とこの点を同一視する」と言った点がありました。それらでしか同一視は起こっていません。 図3 の2つの図をご覧ください。 それら以外の点同士が結果として「同一視されて」います。はじめに、「同一視はこの点とこの点でのみ行い、新図形を作る」と決めます。結果として、図3のように、それら以外の点で、同一視が行われるとき「新図形は自己接触している」といいます。 図2のように、はじめに決めた点以外の点は、どの点とも同一視されていないとき、「新図形は自己接触していない」と言います。 言いようによっては、「このような同一視のみで作る」と言った時点で、新図形は「抽象的には」決まっているわけです。もとの図形(今回は線分)を主役に見れば、もとの図形は同一視する点で自己接触しています。