Ⓒ荒木義明

　ノーベル賞学者としても有名な天才物理学者・数学者のロジャー・ペンローズが、1970年代から半世紀にわたって探し求めてきた「ある図形」が話題になっています。 【画像】存在しないはず…簡単そうだけど、50年も見つからなかった摩訶不思議な模様 　その名は「アインシュタイン・タイル」。 　2023年にようやく発見されたその図形とは、いったいどのようなものなのでしょうか？　 　ペンローズが考案した「ペンローズ・タイル」を超える“幾何学上の大発見”について、ビジュアル重視でやさしく詳しく解説した『ペンローズの幾何学』が刊行されました。 　パズル感覚で楽しむことができ、しかも奥深い「平面幾何」の世界を探訪してみましょう。 　※この記事は、『ペンローズの幾何学』の内容から再構成・再編集したものです。

テセレーションとはなにか

　ペンローズ・タイルからアインシュタイン・タイルに至る長い道のりを解説する前提の一つとして、「テセレーション」についてまず知っておいていただく必要があります。 　テセレーションについては第1章で説明しますが、「平面充填をもとにした模様のデザイン」を指す言葉です。身近な事例でいえば、浴室の壁のタイル張りや、歩道の敷き石の模様のようなものをイメージしてもらうとわかりやすいでしょう。 　テセレーションの解説において、「フレーム」と「ジリ・パターン」という考え方もあわせて説明します(『ペンローズの幾何学』第1章参照)。ともに今回発見されたアインシュタイン・タイル(非周期モノ・タイル)を説明するにあたり、たいへん重要な要素です。

「周期的」な模様

周期的な模様の事例

　平面に広がる模様が「周期的」(英語でperiodic)であるとは、わかりやすくいえば「どの領域を複数の方向(逆向きを省く)に平行移動しても、ピッタリ重なる他の領域が必ずいくつも一定の間隔で存在する」状況のことです。 　それでも難しく感じる人も多いかもしれませんが、ここではいったん「特定領域を2方向の平行移動でつなぎ合わせて、平面充填としてその模様を作ることができること」ととらえていただいてもかまいません。 　浴室の正方形のタイルがビッシリと並んだものが、周期的な模様の事例の代表と考えられます。次の図に他の事例も示しましょう。 　では、「非周期的」な模様とはどのようなものでしょうか？