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「素数シリーズ三部作」(『素数が奏でる物語』『素数はめぐる』『有限の中の無限』)でブルーバックスを代表する人気著者コンビ・西来路文朗さんと清水健一さん。最新刊『ガウスの黄金定理』も大好評のお二人が、新しい「数の世界」を案内してくださいます！ 今回は、今日11月11日にちなんで、「1が並ぶ数」にまつわるお話です。 先月、じつに6年ぶりに最大の素数が見つかるという数学界を盛り上げるビッグニュースが飛び込んできました。これまで最大だった素数を1600万桁以上も上回る、なんと4102万4320桁の数字だというのですから驚きです。 そしてさらに、こんな巨大な数が素数かどうかを判定する方法と、「1が並ぶ数」に深い関係があるというのですが、いったいどういうことなのでしょうか!?

ポッキー＆プリッツの日

今日、「11月11日」には、たくさんの記念日の名前があります。 たとえば、ポッキー＆プリッツの日。ポッキーとプリッツの形が、数字の「1」に似ていることが由来です。平成11年11月11日にスタートしたそうです。 これにちなんで、今回は「1」が並ぶ話をしましょう。 11月11日には、「レピュニット数の日」という名前もあります。レピュニット数とはどんな数でしょうか。 1, 11, 111, 1111, … のように、すべての桁が1である数をレピュニット数といいます。「repeated unit(繰り返される単位=1)」がその名の由来となっていて、1964年にアルバート・ベイラーが著書『数論におけるレクリエーション』の中で名づけました。 桁数が偶数のレピュニット数は11で割り切れます。たとえば、 1111=1100+11 となります。右辺がいずれも11の倍数となっています。 111111=110000+1100+11 となり、これも右辺がいずれも11の倍数です。

3の倍数のレピュニット数

同様に、桁数が3の倍数のレピュニット数は111で割り切れます。たとえば、 111111=111000+111 となります。右辺がいずれも111の倍数です。 一般に、桁数がdの倍数のレピュニット数はd桁のレピュニット数で割り切れます。特に、桁数が合成数のレピュニット数は合成数になります。 では、桁数が素数のレピュニット数は、素数なのでしょうか？