算数の説明が、どこかおかしい…不定方程式に「解があるとは限らない」という「数学の本質」を突いた、あまりに鋭すぎる「小学生の疑問」
u, vどちらも負の数にならないために必要な工夫
しかし、3u+2v=1である整数u, vはどちらかが負でないと成り立たないことは明らかです。したがって、x>0, y>0となる解を求めるには工夫が必要になります。どのように解けば良いでしょうか? 係数a = 3, b = 2の最大公約数は1です。したがって、ウよりua + vb = 1を満たす整数u, vがあります。 u=1, v=-1とすればよいわけです。 3×1+2×(-1)=1 (上式のうち、3と2は方程式の係数、1は最大公約数) そこで、両辺を30倍します。 3×30+2×(-30)=30 最初の方程式は3x+2y=30です。 下図の式から、さらに変形して 3×(x-30)+2× (y+30)=0 →3×(x-30)=-2×(y+30) となります。……(3) (3)より、3と2は互いに素なので、(x-30) は-2で割り切れなければなりません。 よって、(x-30) =-2k(kは任意の整数)とおけます。 これを4. に代入して、 -6k=-2×(y+30)→3k=y+30 (x-30)=-2k,3k=y+30 ⇒x=-2k+30, y=3k-30(kは任意の整数) 実は、この最後の式が(ア)の一般解といわれるものです。kに適当な整数を入れて出てくるすべての数値が、(ア)の整数解というわけです。 つまり、無数の解があるということになります。
ドーナッツの問題にあてはめてみる
この算数の問題の場合はx≧0, y≧0なのでkの範囲が決まります。 x=-2k+30≧0とy=3k-30≧0から、30/3=10≦k≦ 30/2=15の範囲の整数です。k=10, 11, 12, 13, 14, 15ということになりますので、答えは次の6通りになります。 k=10のとき、x=10, y=0 k=10のとき、x=10, y=0 k=11のとき、x=8, y= 3 k=12のとき、x=6, y= 6 k=13のとき、x=4, y= 9 k=14のとき、x=2, y=12 k=15のとき、x=0, y=15 算数のように表を書いて答えを見つける場合でも、x=1から順次代入してyの値を求めますので、結構手間がかかるのです。 そこで、この方程式の一般的な定理を述べておきましょう。