(図版作成:酒井春)

宇宙はどんな形をしているのか？　その謎に迫るために取り入れられているのが「トポロジー:位相幾何学」と呼ばれる数学です。このトポロジーの中でも、超弦理論との関係から近年注目されている「結び目理論」や、宇宙空間を考えるうえで重要になる「高次元幾何学」を中心に、この不思議な世界を紹介する新刊『宇宙が見える数学』。その中から、この記事では本書のテーマである「結び目」とはなにか？　を実際の図形を考えながら見ていくことにします。 【写真】「結び目」が出現する！メビウスの帯とアニュラスの不思議な図形世界 *本記事は『宇宙が見える数学』(ブルーバックス)を再構成・再編集したものです。

メビウスの帯とアニュラス

図1　アニュラスとメビウスの帯を切ると？(図版:長澤貴之)

メビウスの帯は、長方形を半捻り(180度捻り)して作ります。もう一方のアニュラスは、長方形を捻らず作ります。 この、アニュラスの真ん中あたりに描いた点線に沿ってハサミで切りきるとします。当然、2つのアニュラスに分かれます(図1上)。 次は、メビウスの帯を用意します。さきほどと同様に、真ん中の点線に沿ってハサミで切っていきます。　さて、結果はどうなるでしょう？ これは有名なので、答えを知っている方も多いと思います。

メビウスの帯を真ん中で切った結果は？

図2、3(図版:長澤貴之)

これは、図2のように1つの図形になります。 2つではありません。実際にキッチン・ペーパーや半紙のようなやわらかな紙とセロハンテープ、ハサミで工作してみて確かめてください。 ここで注目すべき点があります。 アニュラスを作るさいには辺AB 、辺DC の矢印の向きが揃った長方形を「捻らず」に辺ABと辺DCを貼り合わせました(図3)。 では、さきほどの辺AB、辺DCの矢印の向きが揃った長方形を、半捻りではなく、1回(360度)捻ったらどうなるでしょうか？ この場合にできる図形では、点Aと点D、点Bと点Cが重なります。じつは、この図形もアニュラスと呼びます。辺ABと辺DCのそれぞれの矢印が同じ方向を向いているならば、何回捻ったとしても、できた図形はアニュラスと呼ばれます。 長方形を「整数回」捻ってできる図形をアニュラス、「整数回+半回」捻ってできる図形をメビウスの帯と言います。 アニュラスとメビウスの帯には、さまざまな違いがあります。こうした違いに注目しながら、メビウスの帯の性質について、以下で考えてみたいと思います。実際に、ハサミと紙とペンで工作しながら読み進めると理解が深まるので、おすすめします。