正三角形は無理でも「正六角形ならできる」謎…じつに、美しいパターンに隠れている、仰天の「幾何学的法則」
ノーベル賞学者としても有名な天才物理学者・数学者のロジャー・ペンローズが、1970年代から半世紀にわたって探し求めてきた「ある図形」が話題になっています。 【画像】なぜ…？正三角形は無理でも「正六角形ならできる」…仰天の「幾何学的法則」 その名は「アインシュタイン・タイル」。 2023年にようやく発見されたその図形とは、いったいどのようなものなのでしょうか？ ペンローズが考案した「ペンローズ・タイル」を超える“幾何学上の大発見”について、ビジュアル重視でやさしく詳しく解説した『ペンローズの幾何学』が刊行され、たちまち大増刷と大きな反響を得ています。 パズル感覚で楽しむことができ、しかも奥深い「平面幾何」の世界を探訪してみましょう。 ※この記事は、『ペンローズの幾何学』の内容から再構成・再編集したものです。
「ジリ・パターン」とはなんだろう
平面充填(じゅうてん)を理解するにあたり、この連載の以前の記事〈まずは、長方形でやってみるとよくわかる…じつに、単純極まりない形が「美しく、複雑なパターン」に一変する「驚愕の手法」〉で紹介した「テセレーション」に加えて、もう一つ、どうしても知っておいていただきたい予備知識があります。 イスラム社会でよく見かける、「ひもがいろいろな形をとりながらずっとつながる模様」です。 このような模様を英語で「ジリ・パターン(girih pattern)」といいますが、イスラム圏の微妙な発音で「ギリ」とも聞こえるため、統一的な日本語はありません。『ペンローズの幾何学』ではジリ・パターンとしています。 このようにラインがずっと続く模様は、さまざまな時代のいろいろな文化で見られます。おそらく権力者などの血統がずっと続く(続いてほしい)ことを象徴する意味合いも含まれているものと推測されますが、確証はありません。
テセレーションとジリ・パターン
前回までの記事で紹介したテセレーションとジリ・パターンは、切っても切れないほど深い関係があります。これも百聞は一見に如かず、例を見ながら説明しましょう。 たとえば、正方形の4辺に上図の左上のような4本の線分を描いたとします。これをチェスボードのように並べると、すべてのラインがつながります。たまに方向のリズムを変えても、あるいは正方形の半分だけずらしても、異なったパターンが展開しますので、見て楽しいものになります。 テセレーションとして、平面を隙間なく敷き詰める形状の各辺がつながるように表面にラインを引けば、正方形でなくともジリ・パターンが作れます。 ただし、奇数の辺の形状(たとえば正三角形)は、中央から線を引くと余って引けない辺ができます。もし奇数辺の形状でジリ・パターンを作りたいなら、各辺から偶数本のラインを引く必要があります。 正六角形は辺が偶数なので、中央のラインでもジリ・パターンはできます。そんな例を一つ見ていただきましょう。
