Ⓒ荒木義明

ノーベル賞学者としても有名な天才物理学者・数学者のロジャー・ペンローズが、1970年代から半世紀にわたって探し求めてきた「ある図形」が話題になっています。 【画像】こちらも対称性…ありうる「回転対称」は、セルによって決まっている その名は「アインシュタイン・タイル」。 2023年にようやく発見されたその図形とは、いったいどのようなものなのでしょうか？ ペンローズが考案した「ペンローズ・タイル」を超える“幾何学上の大発見”について、ビジュアル重視でやさしく詳しく解説した『ペンローズの幾何学』が刊行され、たちまち大増刷と大きな反響を得ています。 パズル感覚で楽しむことができ、しかも奥深い「平面幾何」の世界を探訪してみましょう。 ※この記事は、『ペンローズの幾何学』の内容から再構成・再編集したものです。

「対称性」とはなんだろう

【図】「あ」と書いた、畳のような長方形の図形を並べる

前回の記事では、次の図に関連して〈「あ」という文字を180度回転して……〉という表現が登場しました。 このように、ある図形は、形状については回転しても元と同じように保つことができます。ただし、表面に描かれた内容については元と同じに保つことができるとは限りません。 たとえば「あ」の代わりに「H」という文字が書かれていたなら、回転しても同じに見えます。このように、回転しても形状も表面の内容も元と同じに保つ図形は、「回転対称性をもつ」と表現されます。 回転対称性は、畳タイルの例のように180度の回転とは限りません。120度(正三角形)でも、90度(正方形)でも、60度(正六角形)でも可能ですし、平面充填にこだわらなければ、さらに別の角度でも可能です。

対称性についての注意点

注意が必要なのは、多角形や文字のような図形の「対称」と模様の「対称」とでは、ニュアンスが異なっていることです。平面に広がる模様は、たとえその一部の領域が対称に見えなくとも、模様全体として対称であることがあるのです。 今回上梓した『ペンローズの幾何学』では、「対称性」という言葉を「ある移動をしても元と同じ図形を保つ」という意味で使用していますが、模様で使われる「対称性」については、数学的な分類上いくつかの要素があります。 先ほど見た「回転対称性」も、数学(幾何学)の世界で対称性を分類する一つの要素です。他に、「平行移動対称性」「鏡映対称性(線対称性)」「すべり鏡映対称性」の3つがあり、これらに加えて「拡大・縮小対称性」という要素も知っておく必要があるでしょう。 順に解説していきますが、その前に一点、平面を充填する一つ一つの形状単体を「セル(cell)」とよぶことをご了承ください。上図の例では、畳タイル1枚がセルです。