多くの人が忘れている…じつは、対称性は「数学的に分類」されていた
平行移動対称性
「平行移動対称性」は、平面に広がる模様だけがもちうる対称性です。 多角形や文字などの図形では、平行移動すると、必ずどこかがはみ出て元の図形と同じにはなりません。周期的な平面充填模様であれば、うまく平行移動すると、もれなくどのセルも別のセルと重なり、元の模様と同じになるのです。 以前の記事〈じつは「正五角形」では「平面」を埋められない…埋め尽くす非周期タイルを、なんと「2種類」にまで絞り込んだ「驚愕のヒント」〉では、模様が周期的であることの説明を暫定的におこないましたが、「平行移動対称性」を使って言い換えると、次のようになります。 複数の方向(逆向きを除く)の平行移動対称性をもつ模様を周期的とよびます。 それに対し、複数の方向(逆向きを除く)の平行移動対称性をもたない模様を非周期的とよびます。 特に、『ペンローズの幾何学』では「一つも平行移動対称性をもたない」非周期的な模様をおもに扱います。
鏡映対称性(線対称性)
右手と左手はほぼ左右対称と考えられますが、建築物や蝶のような物体や生物などでも、中央で半分に分けると鏡映になっているケースが少なくありません。 左右対称の形状は、数学的にはその半分の形状を鏡に映したものだともいえます。 日本の義務教育で習う対称といえば、いわゆる「線対称」のことがほとんどで、日本人にはまずこの鏡映の概念が浮かぶでしょう。線対称の「2つに分ける線(鏡映軸)」は、縦である必要はありません。横も斜めもありえます。また、鏡映軸は1本とは限りません。 鏡映軸に沿って、左右半分に切った図形は同じように見えますが、左と右をぴったり重ねるためには「裏返す」必要があります。 本記事で取り上げたトピックをはじめ、『ペンローズの幾何学』では、平面図形に現れる対称性や黄金比などのふしぎな性質、最新の発見である「アインシュタイン・タイル(非周期モノ・タイル)」に関する詳しい解説等を紹介しています。 ペンローズの幾何学 対称性から黄金比、アインシュタイン・タイルまで
谷岡 一郎、荒木 義明
