こう考えると「箱に入るボールの個数」は、「箱の番号の約数の個数」と一致します。 　約数とは、先ほどもお話ししたとおり「ある整数に対して、その数を割り切ることのできる整数」のことです。この問題は、約数の個数を考えて、「1~100のなかで約数が偶数個あるものはいくつか？」という問題と答えが同じになるわけですね。 ■「小さい数」で実験してみる 　では、いくつか試してみましょう。 　2番目の箱はどうでしょう？　　これは、1と2が約数なので、2個ボールが入ることになりますね。同じように、10番目の箱は、1と2と5と10が約数なので、4個ボールが入ることになりますね。12番目の箱は、1と2と3と4と6と12が約数なので、6個ですね。

　こう考えていくと、実はかなり、約数の数が偶数個のものが多いのではないか、ということがわかります。 　なぜ、約数は偶数個の場合が多いのでしょうか？　　まず、約数を求めるときに重要なのは、「◯×■」の形に置き換えて、その個数を数えることです。 　例えば「2・3・5・7・11・13」のような素数は、「1×2」「1×11」のように、「1×『その数』」となります。この場合、約数は「1とその数」になるわけです。11は「1と11」、13は「1と13」となりますよね。この場合は2個で、約数が偶数個あることになります。

　(外部配信先では記事中の図表などの画像を全部閲覧できない場合があります。その際は東洋経済オンライン内でお読みください) 　6や8のような数は、6は「1×6」の他に「2×3」、8は「1×8」の他に「2×4」とあらわせます。このとき、6の約数は「1・2・3・6」、8の約数は「1・2・4・8」の各4個となり、これも偶数です。 　12は「1×12」「2×6」「3×4」になりますから、「1・2・3・4・6・12」で6個となり、偶数個になるわけです。

　「◯×■」の形で表せる個数が1つのパターン(1×「その数」)しかなければ約数は2個、2つのパターンなら4個、3つのパターンなら6個となっていきます。 　そう考えると、100までの数の約数は、ほとんどが偶数個あるのです。 ■約数が奇数個なのは、どんな場合か 　ではこの問題の答えを求めるために、逆のことを考えてみましょう。約数の個数が奇数になるのは、どんなときでしょうか？　 　これは、「◯×■」の形で表したときに、○と■が同じ数の場合ですね。例えば、4や9を考えてみてください。4は「1×4」の他に「2×2」、9は「1×9」の他に「3×3」となります。