Ⓒ荒木義明

　ノーベル賞学者としても有名な天才物理学者・数学者のロジャー・ペンローズが、1970年代から半世紀にわたって探し求めてきた「ある図形」が話題になっています。 【画像】懸賞金100万ドル…！　名だたる数学者を惹きつけた「未解決の超難問」 　その名は「アインシュタイン・タイル」。 　2023年にようやく発見されたその図形とは、いったいどのようなものなのでしょうか？　 　ペンローズが考案した「ペンローズ・タイル」を超える“幾何学上の大発見”について、ビジュアル重視でやさしく詳しく解説した『ペンローズの幾何学』が刊行されました。 　パズル感覚で楽しむことができ、しかも奥深い「平面幾何」の世界を探訪してみましょう。 　※この記事は、『ペンローズの幾何学』の内容から再構成・再編集したものです。

発言の主はペンローズ

「平面を隙間も重なりもなく敷き詰める図形」を探究するのが平面充填の世界　illustration by gettyimages

　「ずっと探していたんだけど、最近は忙しくてね」 　2023年3月末、緊急開催されたとあるオンライン会議で参加者一同が注目するなか、91歳の白髪のイギリス人男性がこう発言しました。 　この男性はロジャー・ペンローズ博士。2020年のノーベル物理学賞を受賞した、高名な物理学者であり、数学者です。 　彼のいう「ずっと探していた」ものとは、「平面充填(じゅうてん)」とよばれる数学の分野の、ある問題の答えでした。 　平面充填では、「平面を隙間も重なりもなく敷き詰める図形」を探究します。「どのような形状」が「どう組み合わされば」平面を充填できるかを考えることは、数学の重要なテーマの一つなのです。

「ペンローズ・タイル」と「アインシュタイン・タイル」

　ペンローズ博士が、平面充填に関する有名な図形「ペンローズ・タイル」を発表したのは、今からちょうど50年前の1974年のことです。 　2023年3月の緊急会議は、ペンローズ・タイルを超える「新種のタイル」の発見を受けて開催されたものでした。 　果たして、ペンローズ・タイルをどのように超えたのか？　 　詳細はこのたび筆者らが刊行した『ペンローズの幾何学』に譲りますが、同会議には、その「新種のタイル」の発見者も参加していました。 　発見したのはデイビッド・スミスという名の、平面充填のコミュニティでは知られた人物でしたが、数学の専門家ではありません。 　平面充填の世界において、専門外の人が思いもよらない方法で新種のタイルを見つける事例はこれまでにも多くあり、それがこの分野の魅力を高めています。 　特に今回は、「ペンローズ・タイルを超える」半世紀ぶりの新種ということで、大きな注目を浴びたのです。 　この新種については、「アインシュタイン・タイル」という呼称もありますが、ここでは発見者に敬意を表して「スミス・タイル」とよんでおきましょう。