じつに「思いもよらない方法」で、発見される新種…「超難解」の平面充填の世界。証明のカギは「図形の特徴」という「意外な事実」
平面充填が可能な図形の特徴
新種の候補として、このスミス・タイルを見つけ出したのはスミスですが、新種であることの証明は、コンピュータ科学者や数学者とのチームによる成果です。 その証明は、おもにコンピュータを用いた膨大な計算を含むもので、きわめて難解とされています。 『ペンローズの幾何学』を執筆した目的は、この難解な証明を解きほぐすものではありません。 代わりに、2023年7月に発表された別の証明をもとに解説していきます。この別証明は、筑波大学教授の秋山茂樹と筆者の一人である荒木によるものです。 『ペンローズの幾何学』の目的は、なるべく直観的にこの平面充填の問題と、その新種の概要を伝えることです。 そのため、この別証明についても、おもな流れを触れるにとどめ、証明のカギとなるいくつかの図形の特徴を説明することにページを割いています。これらの特徴については、ペンローズ・タイルに対しても同様に説明します。 スミス・タイルとペンローズ・タイルには、興味深い共通点と相違点があるのです。
パズルを解く感覚で楽しもう！
前述のとおり、証明に関してはおもな流れを押さえるにとどめているため、厳密さは犠牲にはなりますが、『ペンローズの幾何学』では、なるべく日常の感覚で読み進められるように心がけています。特に前半は、難しいトピックを噛み砕き、段階的に平易な言葉で解説しています。 繰り返しになりますが、専門外の人が思いもよらぬ方法で新種を見つける事例は、平面充填においてこれまでも多くあります。 この記事をお読みくださっているみなさんが、「次の新たな新種の発見者」になるかもしれません。『ペンローズの幾何学』がそんなきっかけとなることを期待しています。 なお、数学的な詳細や最新の研究動向に関心のある方は、こちらのサイトに掲載されている文献もあわせてご覧ください。 それでは、ペンローズ博士も取り組んだ平面充填問題がどんなものなのか、そしてスミスが見つけた新種はどんな図形なのか、探訪していきましょう。 パズルを解くような感覚で、ぜひお楽しみください。 ---------- ペンローズの幾何学 対称性から黄金比、アインシュタイン・タイルまで 「存在しない」と考えられてきた図形「アインシュタイン・タイル」が、2023年、ついに発見されました。 非周期モノ・タイルとよばれるこの図形は、いったいどんな形状で、どこがどうすごいのか？ 数学者だけでなく、アマチュア愛好家によっても偉大な発見が続々となされてきた平面幾何の世界。 パズル感覚で楽しむことができ、しかも奥行きの深いこの分野で、「次の大発見」をもたらすのは、あなたかもしれない！ ----------
谷岡 一郎（大阪商業大学学長）/荒木 義明（数学者）
