【問題】奇数の無限、偶数の無限、自然数の無限。一番大きいのはどれ？自然数の無限が、偶数・奇数の無限の2倍ではない、そのシンプルな理由
【問題】奇数の無限、偶数の無限、自然数の無限。一番大きいのはどれ？
そこら辺を理解するために、教科書に必ずでてくる、奇数と偶数と自然数の大きさの比較をしてみたい。 「自然数」というのは、1、2、3、……、1000、……、1万、……、1億、……、(以下、無限に続く)のこと。 人間が自然に認識できる数、というような意味だとお考えください(自然数にゼロを含めることもある)。 ご存じのように、自然数のうち、1、3、5、……を「奇数」、2、4、6、……を「偶数」と呼んでいる。つまり、自然数は奇数と偶数からできているわけだ。 自然数は無限にたくさんある。終わりはない。正の偶数も無限だし、正の奇数も無限だ。 ここで先ほどと同じような「概念の問題」にぶちあたる。無限個の自然数と、無限個の奇数と、無限個の偶数のうち、どの無限がいちばん大きいだろう。あるいは、どの無限も同じなのか。
答えを考えてみると……
人間の脳ミソは有限の数しか直観的に理解できないから、常識的な答えは次のようになる。 常識的な答え:奇数の無限と偶数の無限は同じで、自然数の無限はその2倍 そりゃそうだろう。「奇数の集合+偶数の集合=自然数の集合」という図式から、答えは明らかと思われる。 ところが、この常識的で直観的に正しいと思われる答えは、カントール以降の数学においては「まちがい」なのだ！
正解は、どれも同じ！「1対1対応」を考えると…
正しくは、次のようになる(注:これは少し言い過ぎで、自然密度や部分群の指数といった概念もある……)。 正しい答え:奇数の無限と偶数の無限と自然数の無限はみーんな同じ ええ？ そんなバカな！ 初めて無限の数学に接した人は、誰でも驚くが、これが数学的に正しい答えなのである。 数学は直観ではなく「論理」で証明をしていく学問だ。今の場合、「1対1対応」という具体的な方法で無限の大きさを決めることになる。 といっても別に難しいことではない。NHKの紅白歌合戦の最後に赤玉と白玉を1個ずつ会場に投げていって、先になくなったほうが負け、という恒例行事がありましたよね？ あの1個ずつ突き合わせる作業が1対1対応にほかならない。というわけで、奇数と自然数とを次のように1個ずつ突き合わせていってみよう。 奇 数:1,3,5,7,9,…… 自然数:1,2,3,4,5,…… 突き合わせるルールは簡単だ。n番目の自然数に対応する奇数は(2n-1)である。このルールはnがどんなに大きくなっても適用可能だ。つまり、奇数組と自然数組の玉は永遠に会場に向かって投げられ続ける。 このように「1対1対応がつく」のだから、奇数の無限と自然数の無限は、同じ大きさであることがわかる。 証明というには、あまりに簡単で、拍子抜けしたかもしれないが、この論理は崩すことができない。で、同じようにして偶数と自然数の無限も同じことが証明できるから、結局のところ、奇数と偶数と自然数はみな同じ無限個だけ存在することになる。
竹内 薫(サイエンス作家)
