Ⓒ荒木義明

　ノーベル賞学者としても有名な天才物理学者・数学者のロジャー・ペンローズが、1970年代から半世紀にわたって探し求めてきた「ある図形」が話題になっています。 【画像】古代マヤの数学がすごい…！　定説のインドを1000年遡る「ゼロの発見」 　その名は「アインシュタイン・タイル」。 　2023年にようやく発見されたその図形とは、いったいどのようなものなのでしょうか？　 　ペンローズが考案した「ペンローズ・タイル」を超える“幾何学上の大発見”について、ビジュアル重視でやさしく詳しく解説した『ペンローズの幾何学』が刊行されました。 　パズル感覚で楽しむことができ、しかも奥深い「平面幾何」の世界を探訪してみましょう。 　※この記事は、『ペンローズの幾何学』の内容から再構成・再編集したものです。

「アインシュタイン・タイル」の発見

　2023年に入ってしばらく経ったころ、世界を驚かせるビッグニュースが飛び込んできました。 　およそ50年もの間、数学者をはじめとする幾多の人たちが探究し続けてきた「ある図形」が、ついに発見されたというのです。 　その図形の名前を、俗に「アインシュタイン・タイル」といいます。アインシュタイン・タイルとはなんでしょうか？　

ペンローズをも夢中にさせた問題

非周期的な図形の例。ハットとよばれる

　数学の世界には、「平面を隙間も重なりもなく敷き詰める図形」を探究する「平面充填(じゅうてん)」とよばれる分野が存在します。 　容易に想像できるように、正方形や正三角形を使えば、ごく簡単に平面を敷き詰めることができますが、数学的に興味深いのは、「非周期的」とよばれる複雑な平面充填です。 　多くの数学者たちが、この非周期的な平面充填に魅了され、「それだけを可能にするのはどんな図形か」、そして「いかに少ない種類の図形でそのようなことが可能か」を追い求めてきました。 　非周期的な平面充填だけを可能にする図形が初めて確認されたのは1964年のことで、じつに2万426種類の図形によって、平面が敷き詰められていました。この膨大な数を減らす試みはその後の10年間で一気に進展し、1974年にはなんと2種類の図形で可能なことが見出されます。 　発見者の名前はロジャー・ペンローズ。 　2020年にノーベル物理学賞を受賞することになる、現代を代表する偉大な物理学者にして数学者です。彼の手による2種類の図形は、「ペンローズ・タイル」と名付けられ、『ペンローズの幾何学』の主役の一つでもあります。