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ノーベル賞学者としても有名な天才物理学者・数学者のロジャー・ペンローズが、1970年代から半世紀にわたって探し求めてきた「ある図形」が話題になっています。 【画像】なぜ…？正三角形は無理でも「正六角形ならできる」…仰天の「幾何学的法則」 その名は「アインシュタイン・タイル」。 2023年にようやく発見されたその図形とは、いったいどのようなものなのでしょうか？ ペンローズが考案した「ペンローズ・タイル」を超える“幾何学上の大発見”について、ビジュアル重視でやさしく詳しく解説した『ペンローズの幾何学』が刊行され、たちまち大増刷と大きな反響を得ています。 パズル感覚で楽しむことができ、しかも奥深い「平面幾何」の世界を探訪してみましょう。 ※この記事は、『ペンローズの幾何学』の内容から再構成・再編集したものです。

「フレーム」とはなんだろう

前回の記事でご紹介した「テセレーション」を作る際に重宝されるのが、「フレーム」という考え方です。 たとえば、ここまでに紹介した正方形のフレームとして使われたのは、よく窓枠の絵などで見かけるように、「田の字」を並べたような基本パターンでした。要するに、オセロやチェスボードのようなものを「正方形のフレーム」と考えて差し支えありません。 ある辺に凹凸をつけると、隣のセルーー前回の記事の例で折り紙に当たる四角形ーーに必ず逆の凹凸が出現しますから、それによって全体のデザインを決めることになるのです。 ただし、奇数の辺の形状(たとえば正三角形)は、凹凸をつけると余ってつけられない辺が出てきます。奇数辺の形状で凹凸を作る場合は、辺の形状をその中心点で180度回転して同じになる凹凸を含むようにします。

「正三角形フレーム」の性質

【図】あるフレーム上に別のフレームが同時に存在している

最も基本的なフレームは、正方形(長方形)、正三角形(三角形)、平行四辺形(ひし形を含む)、そして正六角形です。 数学上は正三角形フレームと正六角形フレームは同じものと見なし、「六方格子」とよぶ場合もあります。 五角形のフレームもありえますが、少なくともそれらは正五角形ではありません。 のちの議論で特に重要となるフレームとして、正三角形のフレームを取り上げます。正三角形フレームは次の図に示されるようなものですが、よく観察すると、そのフレーム上に別のフレームが同時に存在していることがわかるはずです。 この図に見られるように、ひし形、平行四辺形、正六角形、そして名前のない形状も含めて、多くのフレームに転用可能です。 つまり正三角形フレームは、多くのフレームを包含しているのだとも考えられます。