多くの人が気づいていない…めちゃくちゃ「複雑そう」に見えるのに、じつにシンプルな形どうしの「衝撃的な合体」
ノーベル賞学者としても有名な天才物理学者・数学者のロジャー・ペンローズが、1970年代から半世紀にわたって探し求めてきた「ある図形」が話題になっています。 【画像】今日は「パフェの日」…じつは、思いもよらない「衝撃の事実」 が潜んでいた その名は「アインシュタイン・タイル」。 2023年にようやく発見されたその図形とは、いったいどのようなものなのでしょうか？ ペンローズが考案した「ペンローズ・タイル」を超える“幾何学上の大発見”について、ビジュアル重視でやさしく詳しく解説した『ペンローズの幾何学』が刊行され、たちまち大増刷と大きな反響を得ています。 パズル感覚で楽しむことができ、しかも奥深い「平面幾何」の世界を探訪してみましょう。 ※この記事は、『ペンローズの幾何学』の内容から再構成・再編集したものです。
「平面充填」模様とはなにか
2次元平面を隙間なく埋めていく連続した模様の事例は、街のそこかしこで見かけます。 たとえば、壁や床のタイル張り、歩道の敷石、着物や洋服のデザインなどですが、そうした模様の事例は人工的にデザインされたものだけでなく、自然界でも見かけることがよくあります。 「f」の蜂の巣などはよく知られていますね。 このような平面を隙間なく埋めていける模様を「平面充填(へいめんじゅうてん)模様」、あるいは「敷き詰め模様」「タイリング・パターン」などとよんでいます。
平面充填ができる形
平面充填ができる形状はいくつもあります。 たとえば三角形ならば、たとえそれがどんな辺の比率であっても(同じ三角形どうしなら)平面充填が可能です。 同じ長さの辺どうしを合わせると、向かい合った辺が平行の四角形ができるからです。向かい合った辺が平行の四角形は、必ず平行な棒状にできますから、深く考えるまでもなく必ず平面充填できます。 同様に、任意の四角形も長い辺どうしを合わせると向かい合った辺が平行の六角形ができるので、(詳しい説明は省きますが)必ず平面充填になります。 特に、四角形の向かい合う2辺の一組だけでも平行な場合は、平面充填であることは想像しやすいでしょう。正方形、長方形、ひし形、平行四辺形は、明らかにその条件に当てはまります。 また台形や、2辺のみが平行の他の四角形においても、平行でない同じ長さの辺をうまく(平行の辺がまっすぐつながるように棒状に)合わせることで、平面充填可能であることはおわかりいただけるかと思います。
